15. Türchen: Rätsel von Noneko ungelöst gebucht

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Noneko
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15. Dez 2018, 23:08

Ein Klassiker - Das Ziegenproblem

Angenommen, Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Tore verteilt worden, und Sie haben keine Information über die Position des Autos.

Die Regeln lauten: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß, was sich hinter den Toren befindet, muss nun eines der beiden verbleibenden Tore öffnen. Hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbliebenen Tor wechseln möchten.

Nehmen Sie an, Sie wählen Tor 1, und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann: ‚Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?‘.

Sollten Sie das gewählte Tor wechseln? Warum (nicht)?


Viel Spass beim Knobeln wünscht
Noneko, Lotuswelt, ID 2447
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Noneko
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18. Dez 2018, 01:03

Lösung:

Man sollte das Tor wechseln, da man dadurch die Gewinnchance verdoppelt.


Kurze Erklärung:

Hinter dem zuerst gewählten Tor des Kandidaten befindet sich entweder das Auto, Ziege 1 oder Ziege 2 - jeweils in einem Drittel der Fälle.

Fall 1 - Ziege 1:
Befindet sich hinter dem vom Kandidaten gewählten Tor die Ziege 1, öffnet der Moderator das Tor mit Ziege 2. Wechselt der Kandidat auf das verbliebene Tor, gewinnt er das Auto.

Fall 2 - Ziege 2:
analog zu Fall 1

Fall 3 - Auto:
Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator eines des Ziegen-Tore. Hinter dem verbliebenen Tor befindet sich ebenfalls eine Ziege, der Kandidat verliert bei einem Wechsel also.

Fazit:
Bei der ersten Wahl des Tores hat der Kandidat eine Chance von 1/3, das Auto-Tor zu wählen und zu gewinnen. Wechselt er, nachdem der Moderator ein Ziegen-Tor geöffnet hat, beträgt die Gewinnchance 2/3.
Noneko, Lotuswelt, ID 2447
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Lillian
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19. Dez 2018, 16:48

Da hast du einen kleinen Fehler in deiner Wahrscheinlichkeitsrechnung! Nach Öffnen eines "Ziegentores" beträgt die Wahrscheinlichkeit 50%. Man wählt dann ja praktisch aus 2 Toren, also eine 50 : 50 Chance auf das Auto!
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Noneko
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19. Dez 2018, 20:39

Lillian hat geschrieben:Da hast du einen kleinen Fehler in deiner Wahrscheinlichkeitsrechnung! Nach Öffnen eines "Ziegentores" beträgt die Wahrscheinlichkeit 50%. Man wählt dann ja praktisch aus 2 Toren, also eine 50 : 50 Chance auf das Auto!
Darum geht es ja, viele Menschen gehen intuitiv davon aus, dass man am Ende die Wahl zwischen 2 Toren und damit eine 50:50 Chance hat - das ist allerdings nicht der Fall.
Mathematisch wird hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten gerechnet, d.h. man berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses, nachdem das Eintreten eines anderen Ereignisses bekannt ist.

Um besser zu verstehen, dass am Ende keine 50:50 Chance vorliegt, sollte man folgendes Gedankenspiel durchführen:
Man stelle sich die oben geschilderte Situation vor, allerdings hat der Kandidat nun anfangs die Wahl zwischen 100 Toren, hinter denen sich 99 Ziegen und 1 Auto befinden. Nachdem der Kandidat ein Tor ausgewählt hat, öffnet der Moderator 98 Tore, hinter denen sich 98 Ziegen befinden. Zwei Tore bleiben unverschlossen, eines davon ist das, welches der Kandidat anfangs gewählt hat. Anschließend hat er die Wahl, sein zuerst gewähltes Tor zu behalten oder zu wechseln.
Ich denke, man merkt bei diesem extremen Beispiel, dass Wechseln die weitaus sinnvollere Option ist.

Ausführliche Informationen finden sich bei Wikipedia:
https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
Noneko, Lotuswelt, ID 2447
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